Эта оцен­ка не про­ти­во­ре­чит оцен­кам дру­гих ав­то­ров, ка­са­ю­щих­ся это­го су­ще­ст­вен­но­го вре­ме­ни в ис­то­рии че­ло­ве­че­ст­ва в эпо­ху ант­ро­по­ге­не­за. Пер­вые отк­ры­тия при­над­ле­жат анг­лийс­ко­му ант­ро­по­ло­гу Ли­ки. В даль­ней­шем круп­ный вклад был сде­лан фран­цу­зс­кой экс­пе­ди­ци­ей, ко­то­рой ру­ко­во­дил Коп­пен, ис­сле­до­вав­ший ран­нюю эпо­ху ста­нов­ле­ния че­ло­ве­че­ст­ва. Имен­но тог­да на­чал­ся ги­пер­бо­ли­чес­кий рост чис­лен­нос­ти на­се­ле­ния на­шей пла­не­ты. С тех пор эта чис­лен­ность уве­ли­чи­ва­лась пря­мо про­пор­ци­о­наль­но квад­ра­ту на­се­ле­ния ми­ра вплоть до на­ше­го вре­ме­ни, ког­да для ги­пер­бо­ли­чес­ко­го рос­та ско­рость об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту вре­ме­ни. Мед­лен­ная в на­ча­ле, по ме­ре рос­та на­се­ле­ния ско­рость все уве­ли­чи­ва­ет­ся и в ито­ге про­ис­хо­дит быст­рее, чем по экс­по­нен­те, уст­рем­ля­ясь в бес­ко­неч­ность, в ко­неч­ное вре­мя, рав­ное Т₁ = 2025 г.

По­э­то­му, об­ра­ща­ясь к раз­ви­тию на­се­ле­ния как еди­ной ди­на­ми­чес­кой сис­те­мы, мы бу­дем рас­смат­ри­вать вы­ра­же­ние (1) не толь­ко как обоб­ще­ние ис­то­ри­чес­ких дан­ных, но и как объ­ек­тив­ную фи­зи­чес­кую за­ко­но­мер­ность и ма­те­ма­ти­чес­ки со­дер­жа­тель­ное вы­ра­же­ние. Оно опи­сы­ва­ет рост на­се­ле­ния как са­мо­по­доб­ный про­цесс, раз­ви­ва­ю­щий­ся по ги­пер­бо­ли­чес­кой тра­ек­то­рии, пос­коль­ку функ­ция рос­та (1) – од­но­род­ная функ­ция. Это свой­ство, отк­ры­тое еще Эй­ле­ром, ука­зы­ва­ет на то, что в та­ких функ­ци­ях нет ха­рак­тер­но­го внут­рен­не­го масш­та­ба. В част­нос­ти, та­кой функ­ци­ей яв­ля­ет­ся ли­ней­ная функ­ция. Од­на­ко экс­по­нен­ци­аль­ный рост та­ким свой­ством уже не об­ла­да­ет, пос­коль­ку он оп­ре­де­ля­ет­ся внут­рен­ним па­ра­мет­ром экс­по­нен­ци­аль­но­го вре­ме­ни Т_е.

Линейный и гиперболический процессы самоподобны,
т. е. во все моменты времени относительный рост неизменен.

Од­но­род­ные функ­ции – ли­ней­ная, или же ги­пер­бо­ли­чес­кая, – опи­сы­ва­ют рост как са­мо­по­доб­ный или ав­то­мо­дель­ный про­цесс, в ко­то­ром во все мо­мен­ты вре­ме­ни от­но­си­тель­ный рост не­из­ме­нен. Толь­ко в вы­де­лен­ных точ­ках осо­бен­нос­тей, или син­гу­ляр­нос­тей, это са­мо­по­до­бие на­ру­ша­ет­ся. В слу­чае рос­та по ги­пер­бо­ле это про­ис­хо­дит в да­ле­ком прош­лом, ког­да на­се­ле­ние асимп­то­ти­чес­ки приб­ли­жа­ет­ся к ну­лю, ли­бо в то кри­ти­чес­кое мгно­ве­ние Т₁, при ко­то­ром N об­ра­ща­ет­ся в бес­ко­неч­ность в мо­мент обост­ре­ния. В этой син­гу­ляр­нос­ти, при ко­то­рой функ­ция (1) стре­мит­ся к бес­ко­неч­нос­ти, сос­то­ит глав­ная прив­ле­ка­тель­ность этой фор­му­лы, пос­коль­ку имен­но тог­да и про­ис­хо­дит ко­рен­ное из­ме­не­ние в раз­ви­тии сис­те­мы, свя­зан­ное с де­мог­ра­фи­чес­ким пе­ре­хо­дом от стре­ми­тель­но­го рос­та к ста­биль­но­му на­се­ле­нию ми­ра.

Мой док­лад о рос­те на­се­ле­ния Зем­ли на се­ми­на­ре Сер­гея Пав­ло­ви­ча Кур­дю­мо­ва стал нас­то­я­щим отк­ро­ве­ни­ем для ме­ня и для кол­лек­ти­ва Инс­ти­ту­та прик­лад­ной ма­те­ма­ти­ки им. М. В. Кел­ды­ша. Действи­тель­но, в сов­ре­мен­ной прик­лад­ной ма­те­ма­ти­ке та­кие про­цес­сы с обост­ре­ни­ем, при ко­то­рых од­на или нес­коль­ко мо­де­ли­ру­е­мых ве­ли­чин об­ра­ща­ют­ся в бес­ко­неч­ность за ко­неч­ный про­ме­жу­ток вре­ме­ни, предс­тав­ля­ют боль­шой ин­те­рес. По­э­то­му Кур­дю­мо­вым и его кол­ле­га­ми для проб­ле­ма­ти­ки ре­жи­мов с обост­ре­ни­ем бы­ли соз­да­ны мощ­ные ма­те­ма­ти­чес­кие ме­то­ды, ко­то­рые, в част­нос­ти, слу­жат и для обос­но­ва­ния предс­тав­ле­ний си­нер­ге­ти­ки, раз­ви­той не­мец­ким фи­зи­ком Ха­ке­ном. Это наш­ло от­ра­же­ние в об­шир­ных при­ло­же­ни­ях в те­о­рии взрыв­ных про­цес­сов, удар­ных волн, в фи­зи­ке фа­зо­вых прев­ра­ще­ний, а так­же в опи­са­нии не­рав­но­вес­ных про­цес­сов раз­ви­тия сис­тем в си­нер­ге­ти­ке и хи­ми­чес­кой ки­не­ти­ке. Эти по­ня­тия при­над­ле­жат фи­зи­ке слож­ных сис­тем, и те­перь они при­ме­ня­ют­ся к че­ло­ве­че­ст­ву в це­лом, став ос­но­ва­ни­ем для но­вых ко­ли­че­ст­вен­ных ре­зуль­та­тов и по­у­чи­тель­ных ка­че­ст­вен­ных ана­ло­гий.

Рис. 4. Мировой демографический переход 1750-2100 гг. Годовой
прирост усреднен за декады. На рисунке видно уменьшение скорости роста
при мировых войнах и демо­графическое эхо войны в начале XXI в.
1 – развитые и 2 – развивающиеся страны (данные ООН).

Преж­де чем мы об­ра­тим­ся к вы­во­дам, сле­ду­ю­щим из за­ко­на ги­пер­бо­ли­чес­ко­го рос­та, вы­яс­ним смысл пос­то­ян­ной ве­ли­чи­ны С, ко­то­рая, как лег­ко ви­деть, оп­ре­де­ля­ет на­се­ле­ние Зем­ли за год до осо­бен­нос­ти. Та­ким об­ра­зом, эта пос­то­ян­ная за­ви­сит от выб­ран­ной еди­ни­цы вре­ме­ни, ос­но­ван­ной на вре­ме­ни об­ра­ще­ния Зем­ли вок­руг Солн­ца, ко­то­рая ни­как не вы­ра­жа­ет при­ро­ду че­ло­ве­ка. Од­на­ко, ес­ли в эту мо­дель ввес­ти собствен­ную еди­ни­цу вре­ме­ни, оп­ре­де­ля­е­мую уже эф­фек­тив­ной про­дол­жи­тель­ностью жиз­ни че­ло­ве­ка, то это отк­ры­ва­ет путь к оп­ре­де­ле­нию пре­де­лов при­ме­ни­мос­ти (1).

Это вре­мя ? = 45 близ­ко к сред­не­му воз­рас­ту че­ло­ве­ка, и в рам­ках мо­де­ли оно воз­ни­ка­ет как по­лу­ши­ри­на гло­баль­но­го де­мог­ра­фи­чес­ко­го пе­ре­хо­да (см. рис. 4). Тог­да при пост­ро­е­нии мо­де­ли вре­мя сле­ду­ет вы­ра­жать в масш­та­бе ? = 45 лет, и вмес­то пос­то­ян­ной С це­ле­со­об­раз­но ввес­ти конс­тан­ту . В от­ли­чие от пос­то­ян­ной С, име­ю­щей раз­мер­ность вре­ме­ни, К – это без­раз­мер­ный боль­шой па­ра­метр, чис­ло, ко­то­рое оп­ре­де­ля­ет все со­от­но­ше­ния, воз­ни­ка­ю­щие при пост­ро­е­нии мо­де­ли рос­та. В даль­ней­шем мы уви­дим, что во всех вы­во­дах те­о­рии это чис­ло ста­но­вит­ся глав­ной ха­рак­те­рис­ти­кой той ди­на­ми­чес­кой сис­те­мы, раз­ви­тие ко­то­рой мы рас­смат­ри­ва­ем.

Так, чис­лом К ~ 10⁵ оп­ре­де­ля­ет­ся как на­чаль­ная по­пу­ля­ция Homo 1,6 млн лет то­му на­зад, так и пре­дел, к ко­то­ро­му стре­мит­ся на­се­ле­ние Зем­ли, ~ К² ? 10 млрд, а про­дол­жи­тель­ность раз­ви­тия че­ло­ве­че­ст­ва ока­зы­ва­ет­ся по­ряд­ка Т₀ ? К? ~ 3 млн лет.